Skót labdarúgó, 1945-1956 között a Chelsea támadó középpályása.
Harris labdarúgó-családban született, apja középpályásként a Newcastle United színeiben játszott és a skót válogatott is volt.
Harris először a Swindon Town, majd az apja által edzőként irányított Swansea Town csapatához igazolt 1934-ben. 1939-ben már a Tottenham Hotspur és a Wolverhampton Wanderersnél is megfordul. A Chelsea-hez még a háború alatt csatlakozott, a Wolves és a Chelsea közti kölcsönügylet részeként. 1945-től azonban a kölcsönből 5.000 fontért tartós leigazolás lett. A fiatal technikás középpályás a Chelsea-ben Roy Bentley érkeztéig a csapatkapitány lett, a Stamford Briden eltöltött 11 év alatt 364 meccsen 14 gólt szerzett és 31-szer lépett pályára a bajnoki 1954/55-ös szezonban.
1956 áprilisában távozott a Chelsea-től és a Chester City játékos-menedzsere lett. 1959. április 20.-án a másodosztályhoz tartozó Sheffield United edzője lett és az első szezonban a harmadik helyet érte el irányítása alatt a United, 7 pontra lemaradva a második helyezett Fullham-től. A következő évben a negyedik helyet szerezte meg Harris csapata. 1961-ben következett az áttörés, Len Allchurch walesi válogatott szélső leigazolásának köszönhetően a Sheffield United az Ipswich Town elleni feljutási meccsen győzött és tagja lett az elő osztálynak. Harris csapatával számtalan alkalommal előkelő szintekig jutott az FA- és Ligakupa küzdelmekben (pl.: 1961-ben egészen az FA kupa elődöntőig). A klubnál állandósuló pénzügyi nehézségek ellenére a United ötödik helyen végzett az első osztályban. A pénzügyi hiány megszüntetése érekében, bár több játékostól megvált a Sheffield United, de az utánpótlásból felkerülő tehetséges játékosállomány a csapatot az angol első osztály állandó résztvevőjévé tette.
Harris 1968 augusztusában lemondott edzői megbízatásáról és a Sheffield United ügyvezetője lett. Egy évvel később a United kiesése folytán, kényszerűségből ismét leült az edzői kispadra és 1971-ben visszavezette a csapatát az első osztályba. Edzőként 1973 decemberéig maradt, majd visszatért a klub vezetésébe, mint a klub igazgatóságának elnöke.
1977 júniusában végleg elhagyta aUnited-et és városi rivális Sheffield Wednesday játékos-megfigyelője lett.
1988-ban 71 éves korában hunyt el Sheffield-ben.